Tangent space(접선 공간)

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Tangent space가 무엇인지 알기 위해서는 우선 Tangent plane을 알아야 한다.

 

 

 

Tangent plane

 

 

Tangent plane은 그림과 같이 구의 한 지점에 접하는 면이다. 수학적으로 이해하기 위해서는 이곳을 참고하기 바란다.

 

Tangent space는 Tangent plane이 구성하는 3차원 공간이라고 할 수 있다.

 

 

Tagent space

 

 

그림에서와 같이 구의 한 지점 $(\lambda, \phi)$에 접하는 접면(Tangent plane)이 있을 때 접면이 구성하는 3차원 공간($u$-axis, $v$-axis, $w$-axis)을 Tangent space라 할 수 있다. 여기서  $u$-axis, $v$-axis는 평면에 기준을 어떻게 하는가에 따라 Tangent space는 무수히 많아진다. 

 

그래픽스에서는 $u$-axis와 $v$-axis를 Texture coordinate를 사용하여 하나의 Tangent space를 사용한다.

 

Texture coordinate를 이용한 Tangent space를 구하기위해서 3차원 공간에 삼각형의 세 점 $P_0, P_1, P_2$가 있고, 각 정점의 Texture coordinate $(u_0, v_0), (u_1, v_1), (u_2, v_2)$이 있다고 가정한다.

 

삼각형의 내에 임의 점을 $Q$라고 했을 때 아래의 식이 성립한다.

 

$Q - P_0 = (u - u_0)T + (v - v_0)B$

 

여기서 $T$와 $B$는 우리가 구하고자 하는 Tagent, Bitangent vector이다. 위 식을 다시 삼각형의 각 점에 대해서 풀면 아래와 같이 된다.

 

$ \begin{align*}
Q_1 &= P_1 - P_0 = (u_1 - u_0)T + (v_1 - v_0)B\\
Q_2 &= P_2 - P_0 = (u_2 - u_0)T + (v_2 - v_0)B\\
\end{align*}$

 

위 식에서 $(u_1 - u_0) = s_1$, $(v_1 - v_0) = t_1$, $(u_2 - u_0) = s_2$, $(v_2 - v_0) = t_2$로 치환하면 아래와 같이 된다.

 

$ \begin{align*}
Q_1 &= P_1 - P_0 = s_1T + t_1B\\
Q_2 &= P_2 - P_0 = s_2T + t_2B\\
\end{align*} $

 

위 식을 행렬 형태로 변경하면 아래와 같이 된다.

 

$ \begin{bmatrix}
Q_{1x} & Q_{1y} & Q_{1z} \\
Q_{2x} & Q_{2y} & Q_{2z} \\
 \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
s_1 & t_1 \\
s_2 & t_2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_x & T_y & T_z \\
B_x & B_y & B_z \\
\end{bmatrix} $

 

위 식에서 우리가 구하고자 하는 $T$와 $B$를 구하기 위해 $\begin{bmatrix} s_1 & t_1 \\ s_2 & t_2 \end{bmatrix}^{-1} $을 양 변에 곱하면 아래 식이 된다.

 

$ \begin{bmatrix}
s_1 & t_1 \\
s_2 & t_2 \\
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
Q_{1x} & Q_{1y} & Q_{1z}\\
Q_{2x} & Q_{2y} & Q_{2z}\\
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
s_1 & t_1 \\
s_2 & t_2 \\
\end{bmatrix}^{-1}
\begin{bmatrix}
s_1 & t_1 \\
s_2 & t_2 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
T_x & T_y & T_z \\
B_x & B_y & B_z \\
\end{bmatrix} $

 

위 식을 정리하면 아래와 같이 된다.

 

$ \begin{bmatrix}
T_x & T_y & T_z \\
B_x & B_y & B_z \\
\end{bmatrix} =
\frac{1} {s_1 t_2 - s_1 t_1}
\begin{bmatrix}
t_2 & -t_1 \\
-s_2 & s_1 \\
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
Q_{1x} & Q_{1y} & Q_{1z} \\
Q_{2x} & Q_{2y} & Q_{2z} \\
\end{bmatrix} $

 

위 식에서 $s_1$, $t_1$, $s_2$, $t_2$, $Q_1$, $Q_2$를 알고 있으므로, 우리가 구하고자 하는 $T$, $B$를 구할 수 있다.

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rapapa.net/?p=2419

mgun.tistory.com/1289

bleedmin.blogspot.com/2012/04/blog-post_6395.html

www.slideshare.net/QooJuice/normal-mapping-79468987

https://kimdw819.tistory.com/entry/구현한-범프-매핑-설명탄젠트-공간

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